Geometrické transformace obrazu

Úvod

Obrázek je reprezentován spojitou funkcí $f:M\rightarrow\mathrm{I\kern-0.8mm R}$ . Zde $M\nobreak\in\nobreak\mathrm{I\kern-0.8mm R}_2$ je definiční obor funkce a $\mathrm{I\kern-0.8mm R}$ je obor hodnot. Množina

je obvykle parametrizována vektorem ${\bf x}$ , jehož složky jsou souřadnice dvourozměrného kartézského systému. Geometrické transformace obrazu nejsou ničím jiným než změnou parametrizace nosiče

a vyjádřením funkce

v tomto novém souřadném systému.

Transformace je popsána funkcí , která váže souřadnice ${\bf x}=\left[x_1, x_2\right]^T$ v původním obrázku a souřadnice ${\bf u}=\left[u_1, u_2\right]^T$ v novém obrázku:

$\begin{displaymath} {\bf x}=T({\bf u})\,. \end{displaymath}$

(1)

Obrazovou funkci původního obrázku již máme značenou . Označíme-li obrazovou funkci nového obrázku , pak platí:

$\displaystyle g({\bf u})=f(T({\bf u}))\,,$			(2)
$\displaystyle g(T^{-1}({\bf x}))=f({\bf x})\,,$			(3)

kde $T^{-1}$ je inverzní zobrazení k zobrazení

Projektivní transformace

Projektivní transformace je taková, která váže souřadné systémy vztahy

$\displaystyle x_1={a_{11}u_1+a_{12}u_2+a_{13}\over a_{31}u_1+a_{32}u_2+a_{33}}\,,$			(4)
$\displaystyle x_2={a_{21}u_1+a_{22}u_2+a_{23}\over a_{31}u_1+a_{32}u_2+a_{33}}\,.$			(5)

Tyto vztahy můžeme přepsat do kompaktnějšího tvaru:

$\begin{displaymath} x_1={{\bf A}_1{\left[{\bf u}^T 1\right]}^T\over{\bf A}_3{\l... ...T 1\right]}^T\over{\bf A}_3{\left[{\bf u}^T 1\right]}^T}\,, \end{displaymath}$

(6)

kde ${\bf A}_1$ , ${\bf A}_2$ a ${\bf A}_3$ jsou řádky matice ${\bf A}$ tvořené koeficienty ze vztahů (4) a (5):

$\begin{displaymath} {\bf A}=\left[\begin{array}{c}{\bf A}_1\\ {\bf A}_2\\ {\bf ... ... a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right] \end{displaymath}$

(7)

Výpočet projektivní transformace

V této části si ukážeme, jak vypočítat matici ${\bf A}$ , která reprezentuje projektivní transformaci mezi dvěma obrazy. V těchto dvou obrazech mějme tzv. lícovací body, tj. body které si v obrazech vzájemně korespondují (označeny červeným křížkem):

$\includegraphics[width=5cm]{figures/let1s.ps}$

$\includegraphics[width=7.5cm]{figures/let2s.ps}$

Lícovacích dvojic nech<< je . Pro každou dvojici lícovacích bodů $({\bf x}^i,{\bf u}^i)$ mají platit vztahy (6), kam za ${\bf x}$ dosadíme ${\bf x}^i$ a za ${\bf u}$ dosadíme ${\bf u}^i$ . Pak hledáme matici ${\bf A}$ takovou, aby (6) byla splněna pro všechny lícovací dvojice.

Nalezení ${\bf A}$ je obzvláště jednoduché, nebo<< vztahy (6) jsou v prvcích ${\bf A}$ lineární. Úpravou vztahů totiž dostaneme:

$\displaystyle {\bf A}_3{\left[{\bf u}^T 1\right]}^T x_1-{\bf A}_1{\left[{\bf u}^T 1\right]}^T=0\,,$			(8)
$\displaystyle {\bf A}_3{\left[{\bf u}^T 1\right]}^T x_2-{\bf A}_2{\left[{\bf u}^T 1\right]}^T=0\,.$			(9)

Utvoříme z prvků matice ${\bf A}$ vektor ${\bf a}=\left[{\bf A}_1, {\bf A}_2, {\bf A}_3 \right]=\left[a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{32}, a_{33}\right]^T$ a zapíšeme lineární soustavu rovnic pro tento vektor:

$\displaystyle \left(% \begin{array}{ccccccccc} u_1^1&u_2^1&1&0&0&0& -x_1^1 u_1... ...1^n&u_2^n&1& -x_2^nu_1^n & -x_2^nu_2^n &-x_2^n \end{array}\right){\bf a}={\bf0}$

(10)

Soustavu vyřešíme a tím dostaneme vektor ${\bf a}$ , který pak jen přeskládáme do matice ${\bf A}$ a tím jsme hotovi.

Praktické poznámky

Všimněte si, že když si z vektorů ${\bf u}^i$ zkonstruujete vektory ${\bf U}^i=\left[\begin{array}{c}{\bf u}^i \\ 1\end{array}\right]$ , a když přeskládáte řádky, dá se soustava (10) napsat ve velice kompaktním tvaru:

$\displaystyle \left(%% \begin{array}{ccccccc} \multicolumn{3}{c}{{{\bf U}^1}^T... ...U}^n}^T} & -x^n_2 {{\bf U}^n}^T \end{array}\right){\bf a}={\bf C}{\bf a}={\bf0}$ (11)

Matici vlevo, která se konstruuje z korespondencí, jsme označili ${\bf C}$ .
Soustava (13) je lineární homogenní soustava rovnic pro 9 neznámých. Z toho plyne, že stačí, když matice [] obsahuje 8 lineárně nezávislých řádků; řešení pak dostaneme jako nulový prostor této matice. Minimálně tedy potřebujeme 4 korespondence v obecné (nedegerované) poloze.
V praxi se používá korespondencí více než 4, aby se zmenšil vliv chyby při určení korespondujících bodů. Kvůli chybám je však také nulový prostor matice [ ${\bf C}$ ] prázdný a vektor [ ${\bf a}$ ] se hledá ve smyslu nejmenších čtverců, tj. určí se jako

$\begin{displaymath} {\bf a}=\mathop{\rm argmin}_{\vert\vert{\bf a}^{*}\vert\vert=1} \vert\vert{\bf C}{\bf a^*}\vert\vert^2 \end{displaymath}$ (12)

kde je Euklidovská norma ( ).
Nalezení vektoru ${\bf a}$ se v takovém případě udělá pomocí SVD (Singular Value Decomposition). Lze použít následující MATLAB kód:
```
     % vypocitej vektor a
     [u,d,v]=svd(C);
     a=v(:,end);
```
Při použití metody nejmenších čtverců se chyba "rovnoměrně rozdělí" do všech sloupců, někde představuje zanedbatelnou změnu, jinde změnu velmi výraznou. Tomu je možné zabránit normalizací. Body v každém souřadném systému zvlášť se transformují tak, aby jejich težiště bylo v počátku a průměrná vzdálenost od počátku byla rovna sqrt(2), pro výpočet normalizační transformace lze použít funkci Tu=normu(u). Homografii An vypočtenou na normalizovaných bodech je pak nutné převést zpět A = inv(Tx)*An*Tu.

Příklad

Vezměte si tento obrázek
Dále si stahněte korespondující páry.
Geometrické zkreslení modelujte projektivní transformací.Vypočtěte transformační matici A.
Proveďte geometrickou transformaci uloženého obrázku. Pro interpolaci použijte funkci interp2 (vliv aliasingu zanedbejte).

Martin Barva 2005-10-14