Zadání

Písemka z 33PVR: varianta 1, 31.5.2000

1.

Nakreslete kruh o poloměru 2 v metrice, kde kruh o poloměru jedna je dán sjednocením pixelu s jeho $8$-okolím.

2.

Které z následujících operací jsou lineární?

(a)

Prahování.

(b)

Korelace.

(c)

Perspektivní projekce.

(d)

Otočení bodu okolo počátku souřadné soustavy.

3.

Průběh velikosti gradientu má v bodě ležícím na hraně ve směru kolmém na hranu:

(a)

inflexní bod,

(b)

lokální maximum,

(c)

lokální minimum.

4.

Poskytne klasifikátor, který klasifikuje podle minima vzdálenosti, bezchybnou klasifikaci do dvou tříd, pokud bude naučen z trénovací množiny:

(a)

Třída A $\{[0,0],[0,4]\}$,

(b)

Třída B $\{[1,0]\}$?

5.

V obrazu jste detekovali dva body o souřadnicích $[1,2]$ a $[2,1]$. Napište homogenní souřadnice přímky procházející těmito body.

6.

Buď $\cal{P}$ projektivní rovina. Nalezněte průsečík přímky $x=3$ s přímkou v nekonečnu v $\cal{P}$.

7.

Máte dva perspektivní obrazy téže scény. Znáte fundamentální matici dvojice obrazů

$$Q = \left( \begin{tabular}{ccc} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ \end{tabular} \right)$$

v rovnici $u^T Q u' = 0$. Může bod $[1,-1,0]$ z nečárkovaného obrazu být v korespondenci s bodem $[1,1,0]$ v obrazu čárkovaném?

8.

Mějme SVD rozklad matice matice $A = U D V^T$, ze kterého známe matice

$$D = \left(\begin{tabular}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \... ...& -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{tabular}\right)$$

Nalezněte bázi pravého nulového prostoru matice $A$.

9.

Mějme incidenční bázi $I = (P,L,\circ)$, kde $P = \{A,B,C,D,E,F,G\}$, $L = \{k,l,m,n,o,p,q\}$ a incidence $\circ$ je definována incidenční tabulkou

	$k$	$l$	$m$	$n$	$o$	$p$	$q$
$A$	$\bullet$				$\bullet$		$\bullet$
$B$	$\bullet$	$\bullet$
$C$		$\bullet$	$\bullet$				$\bullet$
$D$	$\bullet$		$\bullet$	$\bullet$
$E$		$\bullet$	$\bullet$	$\bullet$	$\bullet$
$F$					$\bullet$	$\bullet$
$G$				$\bullet$		$\bullet$	$\bullet$

,

ve které výskyt symbolu $\bullet$ na průsečíku jistého řádku a sloupce tabulky znamená, že bod v tom řádku je incidentní s přímkou v odpovídajícím sloupci. Modifikujte tabulku na třech místech tak, aby báze byla projektivní rovinou.

10.

Čtyři body v metrické rovině o souřadnicích $x_1=[0,0]$, $x_2=[0,1]$, $x_3=[1,0]$, $x_4=[1,1]$ pozorujete v obrazové rovině s pixelovými souřadnicemi $u_1=[0,0]$, $u_2=[0,1]$, $u_3=[1,0]$, $u_4=[1,2]$. Napište obecný vztah pro přepočet metrických a pixelových souřadnic, sestavte systém rovnic pro výpočet paramerů vztahu a do rovnic dosaďte.

Písemka z 33PVR: varianta 2, 31.5.2000

1.

Jaká je vzdálenost pixelů o kartézských souřadnicích $[1,1]$ a $[2,3]$ v normě, ve které mají pixely v 8-okolí vzdálenost jedna od středu okolí?

2.

Které z následujících operací jsou lineární?

(a)

Fourierova transformace.

(b)

Medián.

(c)

Konvoluce.

(d)

Ekvalizace histogramu.

3.

Hranový detektor hledá průchody nulou:

(a)

první derivace,

(b)

druhé derivace.

4.

Nakreslete rozdělující nadplochu, která odpovídá klasifikaci podle minima vzdálenosti do dvou tříd klasifikátorem, který byl naučen z následující trénovací množiny:

(a)

Třída A $\{[0,0],[0,2]\}$,

(b)

Třída B $\{[2,0]\}$.

5.

V obrazu jste nalezli tři přímky s homogenními souřadnicemi $[1,2,3]$, $[3,2,1]$ a $[-2,0,1]$. Protínají se přímky v jednom bodě?

6.

Buď $\cal{P}$ projektivní rovina. Leží průsečík přímek $x = 0$ a $y = 0$ na přímce v nekonečnu v $\cal{P}$? Zdůvodněte.

7.

Máte dva perspektivní obrazy téže scény. V prvním obrazu jste detekovali bod $u$ o souřadnicích $[0,1]$. Epipolární geometrie $u^T Q u' = 0$ je popsána fundamentální maticí

$$Q = \left( \begin{tabular}{ccc} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ \end{tabular} \right) \ .$$

Napište homogenní souřadnice epipolární přímky procházející bodem v čárkovaném obrazu, který koresponduje s bodem $u$.

8.

Mějme SVD rozklad matice $A = U D V^T$, ze kterého známe matice

$$D = \left(\begin{tabular}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \... ...& 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{tabular}\right)$$

Nalezněte bázi pravého nulového prostoru matice $A$.

9.

Mějme incidenční bázi $I = (P,L,\circ)$, kde $P = \{A,B,C,D,E\}$, $L = \{k,l,m,n,o,p\}$ a incidence $\circ$ je definována incidenční tabulkou

	$k$	$l$	$m$	$n$	$o$	$p$
$A$	$\bullet$		$\bullet$			$\bullet$
$B$		$\bullet$	$\bullet$		$\bullet$
$C$	$\bullet$	$\bullet$			$\bullet$
$D$				$\bullet$	$\bullet$	$\bullet$
$E$	$\bullet$	$\bullet$		$\bullet$

,

ve které výskyt symbolu $\bullet$ na průsečíku jistého řádku a sloupce tabulky znamená, že bod v tom řádku je incidentní s přímkou v odpovídajícím sloupci. Vytvořte množinu $P'$ jako podmnožinu $P$ tak, aby báze $(P',L,\circ')$, kde $\circ'$ je definována tabulkou bez řádků, které odpovídají bodům odstraněným z $P$, tvořila afinní rovinu.

10.

Mějme čtyři body v rovině o souřadnicích $x_1=[0,0]$, $x_2=[1,0]$, $x_3=[0,1]$, $x_4=[1,1]$ a jejich obrazy v kameře o souřadnicích $u_1=[0,0]$, $u_2=[1,0]$, $u_3=[0,1]$, $u_4=[2,2]$. Sestavte rovnice pro výpočet projektivního zobrazení mezi rovinami, které na sebe mapuje body se stejnými indexy. Do rovnic dosaďte.

Výsledky písemky z 33PVR: 31.5.2000

Sloupec označený 'V' obsahuje čísla varianty. Sloupec označený 'B' obsahuje celkový počet bodů, které student získal. Sloupce označený číslem 1-10 obsahují bodové ohodnocení příslušných otázek.