Vzorové otázky pro PVI roku 2000

1.

Co je to počítačové vidění.

2.

Jaký je rozptyl náhodné veličiny ``počet fotonů dopadlých na detektor za jednotku času'', ma-li tato veličina střední hodnotu rovnou 100.

3.

Napište vzorec pro normalizovanou korelaci dvou vektorů. Jaká je geometrická interpretace?

4.

Mějme čtyři body v rovině o souřadnicích $x_1=[0,0]$, $x_2=[1,0]$, $x_3=[0,1]$, $x_4=[1,1]$ a jejich obrazy v kameře o souřadnicích $u_1=[0,0]$, $u_2=[1,0]$, $u_3=[0,1]$, $u_4=[2,2]$. Sestavte rovnice pro výpočet projektivního zobrazení mezi rovinami, které na sebe mapuje body se stejnými indexy. Do rovnic dosaďte.

5.

V obrazu jste detekovali dva body o souřadnicích $[1,2]$ a $[2,1]$. Napište homogenní souřadnice přímky procházející těmito body.

6.

V obraze jste nalezli dvě rovnoběžné přímky s rovnicemi $x = -1$ a $x = 1$. Napište homogenní souřadnice jejich průsečíku?

7.

Buď $\cal{P}$ projektivní rovina. Nalezněte průsečík přímky $x=3$ s přímkou v nekonečnu v $\cal{P}$.

8.

V obrazu jste nalezli tři přímky s homogenními souřadnicemi $[1,2,3]$, $[3,2,1]$ a $[-2,0,1]$. Protínají se přímky v jednom bodě?

9.

Buď $\cal{P}$ projektivní rovina. Leží průsečík přímek $x = 0$ a $y = 0$ na přímce v nekonečnu v $\cal{P}$? Zdůvodněte.

10.

Mějme incidenční bázi $I = (P,L,\circ)$, kde $P = \{A,B,C,D\}$, $L = \{k,l,m,n,o,p\}$ a incidence $\circ$ je definována incidenční tabulkou

	$k$	$l$	$m$	$n$	$o$	$p$
$A$	$\bullet$			$\bullet$		$\bullet$
$B$	$\bullet$	$\bullet$			$\bullet$
$C$		$\bullet$	$\bullet$	$\bullet$
$D$			$\bullet$		$\bullet$	$\bullet$

,

ve které výskyt symbolu $\bullet$ na průsečíku jistého řádku a sloupce tabulky znamená, že bod v tom řádku je incidentní s přímkou v odpovífajícím sloupci. Je báze $I$ afinní rovina? Odpověď zdůvodněte.

11.

Mějme incidenční bázi $I = (P,L,\circ)$, kde $P = \{A,B,C,D,E,F,G\}$, $L = \{k,l,m,n,o,p,q\}$ a incidence $\circ$ je definována incidenční tabulkou

	$k$	$l$	$m$	$n$	$o$	$p$	$q$
$A$	$\bullet$				$\bullet$		$\bullet$
$B$	$\bullet$	$\bullet$
$C$		$\bullet$	$\bullet$				$\bullet$
$D$	$\bullet$		$\bullet$	$\bullet$
$E$		$\bullet$	$\bullet$	$\bullet$	$\bullet$
$F$					$\bullet$	$\bullet$
$G$				$\bullet$		$\bullet$	$\bullet$

,

ve které výskyt symbolu $\bullet$ na průsečíku jistého řádku a sloupce tabulky znamená, že bod v tom řádku je incidentní s přímkou v odpovídajícím sloupci. Modifikujte tabulku na třech místech tak, aby báze byla projektivní rovinou.

12.

Mějme incidenční bázi $I = (P,L,\circ)$, kde $P = \{A,B,C,D,E\}$, $L = \{k,l,m,n,o,p\}$ a incidence $\circ$ je definována incidenční tabulkou

	$k$	$l$	$m$	$n$	$o$	$p$
$A$	$\bullet$		$\bullet$			$\bullet$
$B$		$\bullet$	$\bullet$		$\bullet$
$C$	$\bullet$	$\bullet$			$\bullet$
$D$				$\bullet$	$\bullet$	$\bullet$
$E$	$\bullet$	$\bullet$		$\bullet$

,

ve které výskyt symbolu $\bullet$ na průsečíku jistého řádku a sloupce tabulky znamená, že bod v tom řádku je incidentní s přímkou v odpovídajícím sloupci. Vytvořte množinu $P'$ jako podmnožinu $P$ tak, aby báze $(P',L,\circ')$, kde $\circ'$ je definována tabulkou bez řádků, které odpovídají bodům odstraněným z $P$, tvořila afinní rovinu.

13.

Máte dva perspektivní obrazy téže scény. Znáte fundamentální matici dvojice obrazů

$$Q = \left( \begin{tabular}{ccc} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ \end{tabular} \right)$$

v rovnici $u^T Q u'= 0$. Může bod $[1,-1,0]$ z nečárkovaného obrazu být v korespondenci s bodem $[1,1,0]$ v obrazu čárkovaném?

14.

Máte dva perspektivní obrazy téže scény. Znáte fundamentální matici dvojice obrazů

$$Q = \left( \begin{tabular}{ccc} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ \end{tabular} \right)$$

tak, že platí $u^T Q u'= 0$. Je přímka o homogenních souřadnicích $[1,-1,0]$ epipolárou v čárkovaném obraze?

15.

Mějme rozklad matice

$$A = \left(\begin{tabular}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ... ... & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{tabular}\right)$$

Nalezněte jeden nenulový vektor $x$, který řeší rovnici $A x$ = 0.

16.

Mějme SVD rozklad matice $A = U D V^T$, ze kterého známe matice

$$D = \left(\begin{tabular}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ... ...& 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{tabular}\right)$$

Nalezněte bázi pravého nulového prostoru matice $A$.