Zadání

Úkolem této úlohy byla rekonstrukce prostorové scény ze dvou zadaných obrazů sejmutých kamerou při zadané známé korespondenci mezi body.
 
 

1) Výpočet epipolární geometrie

Nejprve je třeba vypočítat fundamentální matici pro zadané pohledy. Pro tuto matici platí

kde  je (řádkový) vektor homogenních souřadnic bodu v prvním obraze ,

je (sloupcový) vektor homogenních souřadnic odpovídajícího bodu ve druhém obraze  .

F je fundamentální matice dvojic obrazů.
 
 

Ze vztahu

vyjádříme pro každý bod jednu rovnici. Jelikož matice F je typu 3x3 a rovnice je homogenní, je třeba minimálně osmi bodů, abychom obdrželi právě jedno řešení. Při použití více než osmi bodů musíme snížit hodnost sestavené rovnice na 8.

reprezentuje přímku (epipoláru) v prvním obraze

reprezentuje přímku (epipoláru) v druhém obraze
 
 
 
 

Pomocí matice  , můžeme body z prvního obrazu zobrazit na přímku (epipoláru) do obrazu druhého a naopak. Pro body na spojnici středů kamer nemá přímka reprezentanta (0, 0, 0). Rovnice epipólů (průsečíky epipolár) tedy získáme z rovnic :

Zde dostáváme další požadavky na matici F- matice F musí být singulární a mít hodnost 2. Protože je ve většině případů zadávání bodů nepřesné, musíme matici F snížit . Pro korespondující body získané pomocí modulu corrgui vypočteme epipoláry a následně epipóly . V našem případě jsme použili 9 a 11 bodů získaných z následujících vstupních obrazů:

Zobrazení epipolár a epipolů pro devět zadaných bodů je na dvou následujících obrázcích:

Na prvním ze zobrazených obrázků je patrné, že se epipoláry protínají v nekonečnu.
 
 

Zobrazení pro jedenáct korespondujících bodů je na následujících obrázcích:

2) Rekonstrukce z kalibrovaných kamer

Výpočet souřadnic bodů skutečné scény provedeme z násleudjících rovnic :

jsou konstanty specifické pro každý bod

jsou homogenní souřadnice bodů v obrazech

jsou známé (zadané) známé projekční matice 

souřadnice bodů  ,

je-li  vlastní bod, pak  a tedy

Jelikož je však výpočet numericky nepřesný, chceme minimalizovat příčku mimoběžek

Z těchto rovnic vypočteme  a následným dosazením  . Rekonstruovaný bod pak bude ležet ve středu úsečky zadané body  a  . Grafické znázornění situace je na následujícím obrázku:

Promítnutí rekonstruovaných hodnot do původního obrazu je na následujícím obrázku - červený bod znázorňuje původní (zadané) hodnoty, tyrkysové kružnice znázorňují námi rekonstruované body. Opět nejdříve pohledy pro devět korespondujících bodů:

Následují obrázky pro 11 korespondujících bodů:

Prostorové znázornění scény je na následujících obrázcích (nejdříve opět obrázek pro 9 korespondujících bodů):

Prostorové znázornění scény je na následujících obrázcích (nejdříve opět obrázek pro 11 korespondujících bodů):
 

3) Projektivní rekonstrukce

Při výpočtu opět vycházíme ze známých rovnic, nyní však neznáme projektivní matice P.

Protože známe vztah mezi projekčními maticemi, můžeme jednu z matic zvolit a sruhou dopočítat .V našem případě jsme zvolili matici jednoduchou (šlo o matici reprezentující identitu - rekonstrukce bude probíhat v souřadné soustavě první kamery). Nyní musíme dopočítat matici druhou.

Matici  lze rozložit na submatici  a sloupcový vektor  .

Jelikož obrazem středu první kamery v druhém obraze je epipól  a jelikož  (vzhledem k volbě matice  ), je sloupcový vektor  roven  . Dále lze ukázat, že součin  je antisymetrická matice

je i-tý řádek matice 

je i-tý sloupec matice  .

Z podmínky antisymetrie předchozí matice dostaneme soustavu rovnic pro výpočet matice A.

Jelikož hodnost matice předchozí soustavy rovnic je 5, obdržíme čtyřrozměrný systém řešení. Matici A pak dostaneme jako libovolnou lineární kombinaci bázových matic takovou, že hod(A) je 3. Pro lepší numerické výsledky jsem v cyklu vybíral náhodné lineární kombinace a použili jsme kombinaci s největším poměrem prvního a posledního prvku diagonály matice s při svd rozkladu matice A (Singular Value Decomposition). Druhou projekční matici pak složíme z matice A a druhého epipólu

Z vypočtených projekčních matic můžeme jako v předchozím bodě pomocí příčky mimoběžek určit rekonstruované body. Přesnost výpočtu není v tomto případě nijak veliká, pro naše potřeby je ale dostačujácí.
 
 

**** toto místo postupu je (jak bude ozřejmeno dále) vhodné označit
 
 

Mezi skutečnými a rekonstruovanými body platí, že jsou stejné až na vynásobení maticí 4x4 (stejnou pro všechny body) a kostantou specifickou pro každý bod

Z tohoto vztahu můžeme vypočítat matici H.
 
 

Tuto pasáž (počínaje výše inzerovaným označením ****) jsme bohužel nestihli zrealizovat, takže výsledné zobrazení bodů do prostoru eufemicky řečeno "ne zcela vystihuje situaci". Tato deformace se dotýká pouze prostorového zobrazení, takže zobrazení bodů do plochy původního obrazu odpovídá skutečnosti.

Výsledek je možné posoudit na následujících obrázcích (opět v pořadí 9 a 11 korespondujících bodů):
Rekonstruované body v 1. pohledu za pomocí námi vypočtené projektivní matice pro 9 bodů

 
 
 

Rekonstruované body do v 2. pohledu za pomocí námi vypočtené projektivní matice pro 9 bodů

Rekonstruovaná 3D scéna za pomoci námi vypočtených projektivních matic pro 9 bodů

Rekonstruované body v 1. pohledu za pomocí námi vypočtené projektivní matice pro 11 bodů

Rekonstruované body do v 2. pohledu za pomocí námi vypočtené projektivní matice pro 11 bodů

Rekonstruovaná 3D scéna za pomoci námi vypočtených projektivních matic pro 11 bodů

Závěr
Z vypočítaných hodnot vyplývá, že roustoucí počet korespondujících bodů způsobuje přesnější výpočet epipólů (protože pro jejich výpočet máme k dispozici více údajů), při výpočtu epipolár dochází k chybě větší, protože vycházíme z matice reprezentující všechny body a chyba se tedy "nasčítává". Ke stejnému jevu dochází i při výpočtu 2D a 3D rekonstrukce. Domníváme se, že rekonstrukce s pomocí námi určených projekčních matic poskytuje horší výsledky než rekonstrukce z projekčních matic zadaných, protože náš postup určuje klíčovou hodnotu v iterovaném cyklu za použití náhodného vektoru.