Vzorové otázky pro 1. test z PVI roku 2001

1. Mějme SVD rozklad matice $A = U D V^T$, ze kterého známe matice
   
   $$D = \left(\begin{tabular}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0... ... \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{tabular}\right)\ .$$
   
   
   Nalezněte bázi pravého nulového prostoru matice $A$.
2. Mějme matici
   
   $$A = \left(\begin{tabular}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0... ...0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{tabular}\right)\ .$$
   
   
   Nalezněte jeden nenulový vektor $x$, který řeší rovnici $x^T A$ = 0.
3. Spočtěte číslo podmíněnosti matice dané součinem
   
   $$\left(\begin{tabular}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\... ... \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{tabular}\right)\ .$$
   
   

4. Mějme čtyři body v rovině o souřadnicích $x_1=[0,0]$, $x_2=[1,0]$, $x_3=[0,1]$, $x_4=[1,1]$ a jejich obrazy v kameře o souřadnicích $u_1=[0,0]$, $u_2=[1,0]$, $u_3=[0,1]$, $u_4=[2,2]$. Sestavte rovnice pro výpočet projektivního zobrazení mezi rovinami, které na sebe mapuje body se stejnými indexy.
5. V obrazu jste detekovali dva body o souřadnicích $[1,2]$ a $[2,1]$. Napište homogenní souřadnice přímky procházející těmito body.
6. V obraze jste nalezli dvě rovnoběžné přímky s rovnicemi $x = -1$ a $x = 1$. Napište homogenní souřadnice jejich průsečíku?
7. Buď $\cal{P}$ projektivní rovina. Nalezněte průsečík přímky $x=3$ s přímkou v nekonečnu v $\cal{P}$.
8. V obrazu jste nalezli tři přímky s homogenními souřadnicemi $[1,2,3]$, $[3,2,1]$ a $[-2,0,1]$. Protínají se přímky v jednom bodě?
9. Buď $\cal{P}$ projektivní rovina. Leží průsečík přímek $x = 0$ a $y = 0$ na přímce v nekonečnu v $\cal{P}$? Zdůvodněte.
10. Pracujme v reálné projektivní rovině. Který z následujících vektorů reprezentuje souřadnice přímky v nekonečnu a který souřadnice bodu v nekonečnu?
    1. $(1,0,0)$
    2. $(0,1,0)$
    3. $(0,0,0)$
    4. $(0,0,1)$
11. Mějme incidenční bázi $I = (P,L,\circ)$, kde $P = \{A,B,C,D\}$, $L = \{k,l,m,n,o,p\}$ a incidence $\circ$ je definována incidenční tabulkou

    	$k$	$l$	$m$	$n$	$o$	$p$
    $A$	$\bullet$			$\bullet$		$\bullet$
    $B$	$\bullet$	$\bullet$			$\bullet$
    $C$		$\bullet$	$\bullet$	$\bullet$
    $D$			$\bullet$		$\bullet$	$\bullet$

    ,
    ve které výskyt symbolu $\bullet$ na průsečíku jistého řádku a sloupce tabulky znamená, že bod v tom řádku je incidentní s přímkou v odpovífajícím sloupci. Je báze $I$ afinní rovina? Odpověď zdůvodněte.
12. Mějme incidenční bázi $I = (P,L,\circ)$, kde $P = \{A,B,C,D,E,F,G\}$, $L = \{k,l,m,n,o,p,q\}$ a incidence $\circ$ je definována incidenční tabulkou

    	$k$	$l$	$m$	$n$	$o$	$p$	$q$
    $A$	$\bullet$				$\bullet$		$\bullet$
    $B$	$\bullet$	$\bullet$
    $C$		$\bullet$	$\bullet$				$\bullet$
    $D$	$\bullet$		$\bullet$	$\bullet$
    $E$		$\bullet$	$\bullet$	$\bullet$	$\bullet$
    $F$					$\bullet$	$\bullet$
    $G$				$\bullet$		$\bullet$	$\bullet$

    ,
    ve které výskyt symbolu $\bullet$ na průsečíku jistého řádku a sloupce tabulky znamená, že bod v tom řádku je incidentní s přímkou v odpovídajícím sloupci. Modifikujte tabulku na třech místech tak, aby báze byla projektivní rovinou.
13. Mějme incidenční bázi $I = (P,L,\circ)$, kde $P = \{A,B,C,D,E\}$, $L = \{k,l,m,n,o,p\}$ a incidence $\circ$ je definována incidenční tabulkou

    	$k$	$l$	$m$	$n$	$o$	$p$
    $A$	$\bullet$		$\bullet$			$\bullet$
    $B$		$\bullet$	$\bullet$		$\bullet$
    $C$	$\bullet$	$\bullet$			$\bullet$
    $D$				$\bullet$	$\bullet$	$\bullet$
    $E$	$\bullet$	$\bullet$		$\bullet$

    ,
    ve které výskyt symbolu $\bullet$ na průsečíku jistého řádku a sloupce tabulky znamená, že bod v tom řádku je incidentní s přímkou v odpovídajícím sloupci. Vytvořte množinu $P'$ jako podmnožinu $P$ tak, aby báze $(P',L,\circ')$, kde $\circ'$ je definována tabulkou bez řádků, které odpovídají bodům odstraněným z $P$, tvořila afinní rovinu.