\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[czech]{babel}
%\usepackage[utf8]{inputenc}         
%\usepackage[latin2]{inputenc} 
\usepackage[cp1250]{inputenc}         
\usepackage{comment}
\usepackage{times}
\usepackage[vmargin=2cm,hmargin=2cm]{geometry}

\newcommand{\dd}{\delta}


\begin{document}
\section*{\bf RPZ \hfill 5. ledna 2011}
\section*{\bf Jméno: }

\begin{enumerate}
\item
 (2 body) Formulujte úlohu Neymana-Pearsona.\\
 (3 body) Jaká je optimální strategie dle Neyman-Pearsona v úloze,
 kde objekty jsou ze dvou tříd $k \in \{1,2\}$. 
 Pozorujeme realné číslo $x \in (0,1)$.
 Podmíněné hustoty pravděpodobnosti $p(x|k)$ mají rozdělení $p(x|1)=2x,
 p(x|2)=3x^2$. Tolerované přehlédnuté nebezpečí je 0.1 (10\%), za
 nebezpečnou je považována třída 1.

\item Soubor obsahuje $n$ nezávislých pozorování $\{x_i\}$.
  (a) 
    Jaký je odhad střední hodnoty dle principu maximální věrohodnosti,
    jsou-li $\{x_i\}$ gaussovsky rozdělené náhodné veličiny.  
     Směrodatná odchylka $\sigma$ je známa.  (1 body)
     Dokažte pro $x_i \in \mathbb{R} $ (1 bod).\\
   (b) 
    Jaký je maximálně věrohodný odhad parametrů A a B rovnoměrného rozdělení( A minimální a maximální hodnota) (2 body).

 
\item (5 bodů) Je dána trénovací množina 
  $ T = \{ (\mathbf{x_i};k_i) \}, i=1, \ldots, 5, \mathbf{x_i} 
  \in R^2, k \in \{1,-1\}$, \\
  $T=\{(-2,1;1),(0,0;-1),(0,2;-1),(0,-3;1), (2,2,-1) \}$. 
    
  Perceptronovým algoritmem hledáte lineární klasifikátor, t.j. vektror
  $\mathbf{w} \in R^2$ a posunutí $b \in R$ takové, že $
  y=\mathbf{w}\mathbf{x}+b$ je kladný pro vzory z třídy $k=1$ a záporný
  pro $k=-1$.

  Jaké budou váhy $\mathbf{w}$ a“e posunutí $b$ po desíti krocích
  perceptronového algoritmu?

\item  Algoritmus k-průměrů (k-means). 
   Zapište kriteriální funkci, kterou se metoda snaží minimalizovat (1 bod).
   Popište algoritmus (1 bod).
   Dokažte, že algoritmus konverguje do lokálního minima kriteriální funkce
     (1~bod). 
  Jak lze metodu k-means zobecnit na shlukování v metrickém (ne
  vektorovém) prostoru\footnote{Pokud vaše definice algoritmu již takové
  zobecnění zahrnuje, máte bod automaticky},
  diskutujte dopady na výpočetní složitost algoritmu (2 body)?


\item (5 bodů)
    
\end{enumerate}
\end{document}
