\documentclass[11pt]{article} \usepackage[czech]{babel} %\usepackage[utf8]{inputenc} %\usepackage[latin2]{inputenc} \usepackage[cp1250]{inputenc} \usepackage{comment} \usepackage{times} \usepackage[vmargin=2cm,hmargin=2cm]{geometry} \newcommand{\dd}{\delta} \begin{document} \section*{\bf RPZ \hfill 5. ledna 2011} \section*{\bf Jméno: } \begin{enumerate} \item (2 body) Formulujte úlohu Neymana-Pearsona.\\ (3 body) Jaká je optimální strategie dle Neyman-Pearsona v úloze, kde objekty jsou ze dvou tříd $k \in \{1,2\}$. Pozorujeme realné číslo $x \in (0,1)$. Podmíněné hustoty pravděpodobnosti $p(x|k)$ mají rozdělení $p(x|1)=2x, p(x|2)=3x^2$. Tolerované přehlédnuté nebezpečí je 0.1 (10\%), za nebezpečnou je považována třída 1. \item Soubor obsahuje $n$ nezávislých pozorování $\{x_i}$. (a) Jaký je odhad střední hodnoty dle principu maximální věrohodnosti, jsou-li $\{x_i}$ gaussovsky rozdělené náhodné veličiny. Směrodatná odchylka $\sigma$ je známa. (1 body) Dokažte pro $x_i \in \mathbb{R} $ (1 bod).\\ (b) Jaký je maximálně věrohodný odhad parametrů A a B rovnoměrného rozdělení( A minimální a maximální hodnota) (2 body). \item (5 bodů) Je dána trénovací množina $ T = \{ (\mathbf{x_i};k_i) \}, i=1, \ldots, 5, \mathbf{x_i} \in R^2, k \in \{1,-1\}$, \\ $T=\{(-2,1;1),(0,0;-1),(0,2;-1),(0,-3;1), (2,2,-1) \}$. Perceptronovým algoritmem hledáte lineární klasifikátor, t.j. vektror $\mathbf{w} \in R^2$ a posunutí $b \in R$ takové, že $ y=\mathbf{w}\mathbf{x}+b$ je kladný pro vzory z třídy $k=1$ a záporný pro $k=-1$. Jaké budou váhy $\mathbf{w}$ a posunutí $b$ po desíti krocích perceptronového algoritmu? \item Algoritmus k-průměrů (k-means). Zapište kriteriální funkci, kterou se metoda snaží minimalizovat (1 bod). Popište algoritmus (1 bod). Dokažte, že algoritmus konverguje do lokálního minima kriteriální funkce (1~bod). Jak lze metodu k-means zobecnit na shlukování v metrickém (ne vektorovém) prostoru\footnote{Pokud vaše definice algoritmu již takové zobecnění zahrnuje, máte bod automaticky}, diskutujte dopady na výpočetní složitost algoritmu (2 body)? \item (5 bodů) \end{enumerate} \end{document}