\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}         
\usepackage{comment}
\usepackage{times}
\usepackage[vmargin=2cm,hmargin=2cm]{geometry}

\newcommand{\dd}{\delta}

\begin{document}
\section*{\bf RPZ \hfill 15. ledna 2013}
\section*{\bf Jméno: }

\begin{enumerate}
\item (6 bodů) Při $N$ hodech mincí padl $k$-krát orel. Jaký je odhad
  pravděpodobnosti, že v jednom hodu padne orel, dle principu maximální
  věrohodnosti (1 bod)? Dokažte (2 body). Jaký je Bayesovský odhad
  pravděpodobnosti, že v jednom hodu padne orel (1 bod)? Naznačte
  výpočet (2 body).

\item (6 bodů)
  Formulujte úlohu Neymana-Pearsona (2 body).\\
  Jaká je optimální strategie dle Neyman-Pearsona v úloze,
 kde objekty jsou ze dvou tříd $k \in \{A,B\}$. \\ 
 Pozorujeme realné číslo $x \in (-1,1)$.
 Podmíněné hustoty pravděpodobnosti $p(x|k)$ mají rozdělení 
 $$p(x|A)=\frac{1}{2}, p(x|B)=\frac{3}{2}x^2.$$
 Tolerované přehlédnuté nebezpečí je 0.1 (10\%), za
 nebezpečnou je považována třída B (3 body).\\
 Jaké je řešení, je-li za nebezpečnou třídu považována třída A (1 bod)?

\item (6 bodů) Je dána trénovací mnożina 
     $ T = \{ (\mathbf{x_i};k_i) \}$, $i=1, \ldots, 5,$ 
    $\mathbf{x_i} \in R^2$,
    $k \in \{1,-1\}$,\\ 
    $T=\{(-2,1;-1),(1,0;1),(0,2;1),(0,-1;1), (2,2,-1) \}$.

Algoritmem Adaboost hledáte lineární kombinaci slabých klasifikátorů.\\
$H(\mathbf{x})=\sum \alpha_t h_t(\mathbf{x})$. 
Máte
k dispozici tyto slabé klasifikátory:
   $h_{1\theta}(\mathbf{x}) =\dd(x_1 >\theta),  
    h_{2\theta}(\mathbf{x}) =\dd(x_1 \le \theta)$ a 
   $h_3(\mathbf{x}) =\dd(x^2_2 + x^2_1 < 4.5),  
    h_4(\mathbf{x}) =\dd(x^2_2 + x^2_1 \ge 4.5)$,
kde $\dd()$ nabývá hodnoty 1, je-li podmínka v závorce splněna, jinak
-1, $\theta$ je libovolné reálné číslo.

Nelezněte $\alpha_t$.

\item (4 body). 
 Pro jakou třídě úloh byste zvažovali použít neuronovou síť (a ne
 SVM, AdaBoost, metodu nejbližšího souseda)? Volbu zdůvodněte.
    
\end{enumerate}
\end{document}
