\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[czech]{babel}
%\usepackage[cp1250]{inputenc}         
\usepackage[latin2]{inputenc} 
\usepackage{comment}
\usepackage{times}
\usepackage[vmargin=2cm,hmargin=2cm]{geometry}

\newcommand{\dd}{\delta}


\begin{document}
\section*{\bf RPZ \hfill 23. ledna 2009}
\section*{\bf Jméno: }

\begin{enumerate}

\item (6 bodů). Definujte střední ztrátu (Bayesovskou ztrátu) strategie.
   Definujte význam všech použitých symbolů.

\item Máte $n$ nezávislých pozorování gaussovsky rozdělené náhodné
     veličiny. Jaký je odhad střední hodnoty dle principu maximální 
     věrohodnosti (2 body)? Směrodatná odchylka $\sigma$ je známa. 
     Dokažte pro jednorozměrný (2 bod) i vícerozměrný případ (2 body)!

\item  Je dána trénovací množina 
    $ T = \{ (\mathbf{x_i};k_i) \}$, $i=1, \ldots, 5,$ 
    $\mathbf{x_i} \in R^2$,
    $k \in \{1,-1\}$,\\ 
    $T=\{(-2,1;1),(0,0;-1),(0,2;-1),(0,-3;-1), (2,2,1) \}$.

Algoritmem Adaboost hledáte lineární kombinaci slabých klasifikátorů
$H(\mathbf{x})=\sum \alpha_t h_t(\mathbf{x})$. 
Máte k dispozici čtyři slabé klasifikátory a to: 
$  h_1(\mathbf{x}) =\dd(x_1 >0.5), 
   h_2(\mathbf{x}) =\dd(x_2< -0.5), 
   h_3(\mathbf{x}) =\dd(x_1 \le 0.5),
   h_4(\mathbf{x}) =\dd(x_2>0)$, kde $\dd()$ nabývá hodnoty 1, je-li
       podmínka v závorce splněna, jinak -1.

Který z těchto klasifikátorů bude vybrán jako první (2 body)? Jakou bude
mít váhu $\alpha_1$ (2 body)? Jaké budou váhy $w_i$ jednotlivých příkladů
z trénovací množiny po prvé iteraci Adaboostu (nezapomeňte normalizovat
tak, aby jejich součet byl roven jedné) (1 bod)? Který z těchto
klasifikátorů bude vybrán jako druhý (1 bod)?

\item  Algoritmus k-průměrů (k-means). Zapište kriteriální funkci, kterou
se metoda snaží minimalizovat (1 bod)? Popište algoritmus (2 body).
Dokažte (naznačte důkaz), že algoritmus konverguje do lokálního minima
kriteriální funkce (2~body). Jak lze metodu k-means zobecnit (1 bod)?

\end{enumerate} \end{document}
