\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[czech]{babel}
%\usepackage[utf8]{inputenc}         
%\usepackage[cp1250]{inputenc}         
\usepackage[latin2]{inputenc} 
\usepackage{comment}
\usepackage{times}
\usepackage[vmargin=2cm,hmargin=2cm]{geometry}

\newcommand{\dd}{\delta}


\begin{document}
\section*{\bf RPZ \hfill 23. ledna 2009}
\section*{\bf Jméno: }

\begin{enumerate}
\item (6 bodż)
 Jaká je optimální strategie v rozpoznávací úloze, kde objekty jsou ze dvou tżíd 
 $k \in \{1,2\}$. Pozorujeme realné żíslo $x \in (0,1)$.
 Podmínżné pravdżpodobnosti $P(x|k)$ mají rozdżlení $P(x|1)=2x, P(x|2)=x$.\\
 żeżte následující pżípady:
 \begin{enumerate}
 \item $P(1)=P(2)=0.5$, minimalizace stżední ztráty, 
       pokuty za vżechny chyby jsou stejne.
 \item $P(1)=1/3, P(2)=2/3$, minimalizace stżední ztráty,
       pokuty za vżechny chyby jsou stejne.
 \item $P(1)=P(2)=0.5$, minimalizace stżední ztráty, 
       pokuta za klasifikaci 2 pro objekt z tżidy 1 je dvakrát drażżí neż
       chyba opażná.
 \item żeżíte-li Neyman-Pearsonovu úlohu a pżehlédnuté nebezpeżí je
       maximálnż 0.1 (10\%), za nebezpeżnou je povażována tżída 1.
 \item żeżíte-li Neyman-Pearsonovu úlohu a pżehlédnuté nebezpeżí je
       maximálnż 0.3 (30\%), za nebezpeżnou je povażována tżída 2.
 \item żeżíte-li minimaxní úlohu.
 \end{enumerate}

 
\item  Je dána trénovací mnożina 
    $ T = \{ (\mathbf{x_i};k_i) \}$, $i=1, \ldots, 5,$ 
    $\mathbf{x_i} \in R^2$,
    $k \in \{1,-1\}$,\\ 
    $T=\{(-2,1;1),(1,0;-1),(0,2;-1),(0,-1;-1), (2,2,1) \}$.

Algoritmem Adaboost hledáte lineární kombinaci slabých klasifikátorů
$H(\mathbf{x})=\sum \alpha_t h_t(\mathbf{x})$. 
Máte k dispozici żtyżi slabé klasifikátory a to: 
$  h_1(\mathbf{x}) =\dd(x_1 >0.5), 
   h_2(\mathbf{x}) =\dd(x^2_2 + x^2_1 < 4.5), 
   h_3(\mathbf{x}) =\dd(x_1 \le 0.5),
   h_4(\mathbf{x}) =\dd(x_2>0)$, kde $\dd()$ nabývá hodnoty 1, je-li
       podmínka v závorce splněna, jinak -1.

Který z tżchto klasifikátorż bude vybrán jako první (2 body)? Jakou bude
mít váhu $\alpha_1$ (2 body)?

\item Algoritmus k-pr;mżrż (k-means). Zapiżte kriteriální funkci, kterou
se metoda snażí minimalizovat (1 bod)? Popiżte algoritmus (2 body).
Dokażte, że algoritmus konverguje do lokálního minima kriteriální funkce
(1~bod). Jak lze metodu k-means zobecnit (max 2 body, 1 za każdé
zobecnżní)?

\end{enumerate}
\end{document}
