Adaptivní systémy s referenčním modelem

Pavel Píša ( pisa@cmp.felk.cvut.cz )

1  Adaptace s referenčním modelem

Účelem adaptace s referenčním modelem, je taková změna dynamiky řízeného systému, aby se choval stejně jako model požadované dynamiky systému. Většinou je před řízený systém přidán regulátor a odezva sytému složeného z regulátoru a řízeného systému je porovnávána s odezvou modelu požadovaného chování. Dále je celý systém doplněn pomalejší zpětnou vazbou obsahující adaptační pravidla, která má za úkol nastavit parametry regulátoru tak, aby minimalizoval odchylku mezi výstupem z řízeného systému a modelem.

V následujícím textu bude nejdříve odvozen gradientní přístup k minimalizaci odchylky využívající kriteriální funkce. Ve druhé části bude ovozena ljapunovská metoda pro nastavování pravidel, která se snaží řešit nejen stabilitu vlastního regulátoru, ale celé soustavy obsahující i model a adaptační pravidla.

Hlavním cílem této práce bylo odvodit co nejobecnější pravidla použitelná pro lineární systémy libovolného řádu s jedním vstupem a výstupem. Výsledky byly testovány v prostředí Simulinku, kde byly sestaveny následující modely :

• gradientní metoda využívající MIT pravidla pro spojitý systém
• gradientní metoda využívající částečně normalizovaná pravidla pro diskrétní systém
• ljapunovská metoda pro systém s měřitelným stavem

Navržené modely se vyznačují poměrně dobrou adaptací a možností testování pro libovolný řád regulátoru, parametry modelu a řízeného systému. Modely obsahují i možnost vyvolání příkladových parametrů pro regulátory a systémy prvního až třetího řádu. Experimenty ovšem ukazují, že navržené modely ztrácí dobré vlastnosti rychlosti a stability adaptace pro vyšší řády (  ł 3  ) systému a regulátoru.

2  Gradientní metody

Adaptační pravidla mají za úkol nastavit parametry regulátoru Q_R tak, aby rozdíl e mezi výstupem y regulovaného systému S a výstupem y_m modelu požadovaného chování S_m byl nulový. Obecný tvar lineárního regulátoru pro systém s jedním vstupem i výstupem je lineární regulátor se dvěma stupni volnosti, který lze charakterizovat parametry přenosových funkcí R , S a T . Schéma je uvedeno na obrázku 1.

Přenos celé soustavy F_w/y = [B·T/( A·R+B·S)] by se měl po adaptaci blížit přenosu modelu [(B_m)/( A_m)] .

Pro parametry regulátoru platí následující podmínky :

• pro póly : A_m / A·R+B·S
• pro nuly : B = B⁺·B^- , kde B⁺ představuje stabilní část polynomu B

Dostatečně stabilní nuly obsažené v B⁺ se nemusí nacházet v modelu ( B_m ), protože je lze krátit. Nestabilní nuly ( B^- ) krátit nelze, protože po jejich vykrácení by se v systému objevily neřiditelné nestabilní stavy. Proto model požadovaného chování musí nestabilní část B^- obsahovat v B_m . Pak pro parametry R , S platí rovnice

Podmínky řešitelnosti rovnic a návrhu regulátoru :

1. degQ ł 2·degA-degA_m-degB⁺-1
2. degA_m-degB_m ł degA-degB   nelze zmenšovat
3. B^-/B_m   Ţ   nelze odstranit nestabilní nuly   Ţ   je nutné je znát předem a zahrnout do modelu

Předchozí výpočty ukazují, že pro každý systém lze za splnění předchozích podmínek regulátorem docílit jeho chování shodné s modelem požadované dynamiky. Nyní je nutné odvodit adaptační pravidla, která budou nastavovat parametry regulátoru Q_R , konkrétně R , S a T tak, aby se chyba sledování e blížila nule.

Gradientní metoda využívá minimalizace kriteriální funkce J(Q_R) změnou parametrů [d/ dt]Q_R = -k[(ś)/( śQ_R)]J . V předchozím vztahu je nutné k volit dostatečně malé, aby nedošlo k destabilizaci celého regulačního obvodu. Konkrétní volba kritéria ovlivňuje výsledná adaptační pravidla. Nejčastěli používaná pravidla :

• J(Q_R) = ¹/₂e²(t)

  pak adaptační pravidla pro gradientní metodu vycházejí ve tvaru

  d dt QR = -k·e· ś śQR e

  (4)

  kdyby k bylo příliš velké, není přiblížení parciální derivací bez zahrnutí změn parametrů stabilní
  [(ś)/( śQ_R)]e   je citlivostní model systému

• J(Q_R) = | e(t)|

  tvar pravidel
  [d/ dt]Q_R = -k·[(ś)/( śQ_R)]e·sign(e)   nebo po zjednodušení   [d/ dt]Q_R = -k·sign( [(ś)/( śQ_R)]e) ·sign(e)

• pro odstranění závislosti na amplitudě w se také používá normalizace adaptačních pravidel

  [d/ dt]Q_R = -k·[(e·[(ś)/( śQ_R)]e)/( e+( [(ś)/( śQ_R)]e) ^T·[(ś)/( śQ_R)]e)]

Systém lze popsat následujícími rovnicemi :

• y = [B·T/( A·R+B·S)]w
• u = [A·T/( A·R+B·S)]w

Ze vhodně zvolených přenosů v systému lze vyjádřit citlivostní funkce v jednoduchém tvaru. Pro jejich výpočet není nutné uvažovat v rozdílu [(ś)/( śQ_R)]e = [(ś)/( śQ_R)]y-[(ś)/( śQ_R)]y_m parciální derivaci y_m , protože model S_m není na ladění parametrů závislý.

• [(ś)/( śr_i)]e = -[(B·p^k-i)/( A·R+B·S)]u       i = 1,...,k = degR       r₀ = 1
• [(ś)/( śs_i)]e = -[(B·p^l-i)/( A·R+B·S)]y       i = 0,...,l = degS
• [(ś)/( śt_i)]e = +[(B·p^m-i)/( A·R+B·S)]w       i = 0,...,m = degT

Je nutné upozornit, že indexy v polynomech R , S a T jsou v tomto případě uvažovány od nejvyšší mocniny p směrem k mocnině nejnižší ( obdobně jako v modelech v Matlabu, kde je ovšem indexace prováděna od 1 do n+1  ). Po zkonvergování parametrů do ideálního stavu bude platit A·R+B·S ť A_m·B⁺·Q a tuto aproximaci lze většinou použít i v počátku adaptace. Adaptační pravidla stále obsahují B^- . Polynom B⁺ v předchozí aproximaci lze však zkrátit podle (2). Pro systém obsahující pouze stabilní nuly lze psát B = B⁺·b₀ . Po zkrácení zbývá pouze b₀ . Konstantu b₀ lze zahrnout do konstanty rychlosti adaptace k , pouze je nutné respektovat její znaménko. Pak lze předchozí rovnice dosadit do rovnic pro adaptaci parametrů Q_R regulátoru ( například do (4) ) :

• [(ś)/( śr_i)]e = +k·e·( [(p^k-i)/( A_m·Q)]) ·u       i = 1,...,k = degR       r₀ = 1
• [(ś)/( śs_i)]e = +k·e·( [(p^l-i)/( A_m·Q)]) ·y       i = 0,...,l = degS
• [(ś)/( śt_i)]e = -k·e·( [(p^m-i)/( A_m·Q)]) ·w       i = 0,...,m = degT

Na obrázku 4 je model spojitého adaptivního systému obecného řádu, který využívá výše odvozené gradientní metody. Obrázek 3 zobrazuje filtr pro výpočet vektor členů citlivostních funkcí ( [(p^{k-i = 0źk})/( A_m·Q)]) . Shodný tvar filtru je použit pro všechny tři nastavované parametry, ovšem pro parametr r₀ je výsledek násoben nulou a integrátor je přednastaven na hodnotu 1 . Podobný model lze sestrojit i pro diskrétní systém.

3  Ljapunovská metoda

Ljapunovská metoda se nesnaží stabilizovat pouze adaptovaný systém, ale vyšetřuje stabilitu celé soustavy složené z řízeného systému, modelu, regulátoru a adaptačních pravidel. Základem vyšetřování stability ve velkém je hledání ljapunovské funkce, kterou si lze představit jako součet veškeré ``energie'' v systému. Je-li derivace v čase této funkce až na jeden bod stavového prostoru x<sub>o</sub> záporná, musí postupně dojít k úniku/vyčerpání ``energie'' ze systému a k přechodu systému do bodu x_o . Následuje matematický zápis požadavků na ljapunovskou funkci za předpokladu, že rovnovážný bod systému se nachází v počátku souřadného systému ( transformace x_o @ 0  ):

• [d/ dt]x = f(x,t) , f(0,t) = 0
• V(x,t) : Rⁿ⁺¹Ž R

  V(0,t) = 0 , V diferencovatelná přes x a t

  V(x,t) ł g(||x||) @ pozitivně definitní

• [d/ dt]V(x,t) = [(śV^T)/( śx)]·f(x,t)+[(śV)/( śt)] ,
• [d/ dt]V(x,t) < 0 pro všechna x š 0 , to znamená, že [d/ dt]V je negativně (semi)definitní

V následujících odstavcích je odvozeno jak lze využít ljapunovské stability pro syntézu stabilního adaptivního regulátoru.

Úkolem je pro systém S nalézt takový regulátor a adaptační pravidla aby se systém choval shodně jako zadaný modelový systém S_m . Úloha nebude řešena zcela obecně. Jak je upozorněno v [1] pro sestrojení takovéhoto adaptivního regulátoru vyššího řádu je nutné, aby byly všechny stavy regulovaného systému S měřitelné. Proto jako výstup systému i modelu budou brány stavy x a x_m . Adaptační pravidla mají za úkol ladit parametry regulátoru Q_R tak, aby se limitně blížily optimálnímu nastavení regulátoru Q_R^* a rozdíl výstupů modelu a systému e = x-x_m se blížil 0 . Je tedy nutné hledat hyperstabilitu systému se stavem (e,Q_R-Q_R^*) .

Pro zjednodušení problému bude uvažován pouze požadovaný model chování systému ve tvaru filtru n -tého řádu s nastavitelným zesílením ( [(b₀)/( pⁿ+a_n-1·p^n-1+...+a₁·p+a₀)] ). Tento předpoklad není příliš omezující, protože právě výsledná odezva ve tvaru filtru s vhodným tlumením je většinou požadována. Při programovém řízení lze jiného chování též docílit transformací průběhu vstupního signálu.

Dále jak bylo ukázáno v [2] lze dynamiku ( vlastní čísla l matice systému A  ) libovolného systému téměř libovolně změnit zavedením stavové zpětné vazby h do vstupu systému S . Pro další výpočty je vhodné předpokládat model požadovaného chování S_m s maticemi A_m a B_m ve Frobeniově kanonickém tvaru. Tento předpoklad neomezuje obecnost řešení, protože jak bylo ukázano v [2] lze stavy a matice každého systému do tohoto tvaru převést. Při jiném než Frobeniově tvaru požadovaného chování je tedy nutné stav modelu x_m i měřený stav regulovaného systému x násobit transformační maticí Q^-1 , kterou lze vypočítat Q = R_m·R_m˘^-1 . R_m a R_m˘ jsou matice dosažitelnosti původního a transformovaného modelu systému R_m = b_m,A_m·b_m,...,A_m^n-1·b_m a R_m˘ = b_m˘,A_m˘·b_m˘,...,A_m˘^n-1·b_m˘ .

Za uvedených předpokladů zle sestavit následující rovnice pro chování systému S a modelu S_m .

[d/ dt]x = A·x+b·u

  ,   u = -h·x+l·w

[d/ dt]x_m = A_m·x_m+b_m·u

 

Kde w je vstup do systému, A , b , A_m a b_m jsou matice řízeného systému S a modelu S_m , x a x_m jsou stavy řízeného systému a modelu a u je vstup do řízeného systému S . Řádkový vektor h představuje stavovou zpětnou vazbu přidanou k systému S a skalár l řídí zesílení vstupního signálu do systému S . Pak lze rozdíl e mezi skutečným stavem x systému S požadovaným stavem x_m vyjádřit :

Nyní lze sestrojit ljapunovskou funkci s parametry, které budou vyjadřovat vzdálenost od požadovaného stavu, kdy dojde k vynulování všech výrazů

Na obrázku 5 je zobrazen model s výše uvedenými adaptačními pravidly. Tento model vykazuje velmi uspokojivé výsledky pro první a druhý řád. Doba adaptace pro třetí řád systému je již poměrně dlouhá.

Contents

References

[1]

Přednášky z předmětu adaptivní systémy, Havlena, Praha 1997

[2]

Teorie dynamických systémů, Štecha Havlena, Praha 1993