Centrální limitní věta

Tomáš Svoboda

Předpokládejme, že náhodné veličiny $\vc{x}_i$ jsou nezávislé. Definujme náhodnou veličinu $\vc{z}$ jako součet

$$\vc{z} = \sum_{i=1}^{N} \vc{x}_i.$$

Za jistých obecných podmínek se distribuční funkce náhodné veličiny $\vc{z}$ blíží distribuční funkci normálního rozdělení

$$F_z(z) \simeq G(\frac{z-\mu_z}{\sigma_z})$$ (1)

Ve spojitém případě je tedy funkce hustoty

$$f_z(z) \simeq \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_z^2}}e^{-(z-\mu_z)^2/2\sigma_z^2}.$$ (2)

Není žádný požadavek na tvar hustoty jednotlivých náhodných proměnných $\vc{x}_i$.

Postačující podmínky platnosti centrální limitní věty

Převzato z [2].

• $\vc{x}_i$ jsou nezávislé.
• Každá veličina $\vc{x}_i$ má konečné centrální momenty do 3. řádu včetně.
• 
  
  $$\lim_{N\rightarrow\infty} \frac{(\sum_{i=1}^N \Expect{\vc{x}_i-\mu_i})^{1/3}}{(\sum_{i=1}^N \sigma_i^2)^{1/2}} = 0.$$
  
  

Podrobné odvození centrální limitní věty lze nalézt v knize [1].

Bibliography

1

Athanasios Papoulis.
Probability and Statistics.
Prentice-Hall, 1990.

2

Josef Skrasek and Zdenek Tichy.
Zaklady aplikovane matematiky, volume III.
SNTL, 1990.
in Czech.