Gaussův integrál - Řešení

Jednorozměrný integrál

$$I =\frac{1}{K} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}ax^2} dx$$

Vyřešíme nejprve druhou mocninu integrálu

$$(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}ax^2} dx)^2 = \int_{-... ...infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}a(x^2+y^2)} dxdy.$$

Provedeme substituci do polárních souřadnic

Determinant Jakobiánu transformace je

$$\det(J) = \det\mat{cc}{\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{... ...ial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi}} = r.$$

Čili $dxdy = r drd\varphi$. Po provedení substituce dostaneme

$$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty} r e^{-\frac{1}{2}ar^2} dr d\varphi.$$

Provedeme ještě jednou substituci

počítáme tedy integrál

$$\pi \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{1}{2} az} dz = \pi[-\frac{2}{a} e^{-\frac{1}{2} az}]_{0}^{\infty} = \frac{2\pi}{a}.$$

$$I = \frac{1}{K} \sqrt{\frac{2\pi}{a}}.$$ (1)

$$K = \sqrt{\frac{2\pi}{a}}.$$

Vícerozměrný integrál

$$I_N = \frac{1}{K} \int_{R^N} e^{-\frac{1}{2}\vc{x}^T A \vc{x}} \, d{\vc{x}},$$

Potřebujeme vyjádřit $N$-rozměrný integrál jako součin $N$jednorozměrných integrálů. Substituujeme $\vc{x}$ pomocí lineární kombinace vlastních vekorů matice $A$.

$$\vc{x} = \sum_{k=1}^{N} a_k \vc{u}_k.$$ (2)

Jelikož $A$ je symetrická reálná pak i $\lambda_k$ jsou reálná a existuje ortonormální báze vlastních vektorů $\vc{u}_k$, podrobnosti viz [1]. Existuje reálná ortonormální matice $U$ taková, že platí

$$U^T A U = {\rm diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_N).$$ (3)

Za předpokladu ortonormality vlastních vektorů, $\vc{u}^T_j\vc{u}_k = \delta_{jk}$, platí pro determinant jakobiánu transformace (2) $\det(J)=1$. Připomeňme, že platí $A\vc{u}_k = \lambda_k\vc{u}_k$, kde $\lambda_k$ jsou příslušná vlastní čísla matice $A$. Pak platí

$$\vc{x}^T A \vc{x} = \sum_{k=1}^{N} \lambda_k a_k^2 .$$

$N$-rozměrný integrál přepíšeme na součin

$$\prod_{k=1}^{N} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}\lambda_k a_k^2} da_k.$$

Tento jednorozmzěrný integrál jsme již vyřešili v předchozí kapitole. Doplňme ještě, že z rovnice (3) vyplývá, že součin vlastních čísel je roven determinantu matice $A$. S použitím výsledku (1) platí

$$I_N = \frac{1}{K} \frac{(2\pi)^{N/2}}{\sqrt{\det(A)}}.$$

Z požadavku $I_N=1$ tedy

$$K = \frac{(2\pi)^{N/2}}{\sqrt{\det(A)}}.$$

Bibliography

1

Gene H. Golub and Charles F. van Loan.
Matrix Computation.
The Johns Hopkins University Press, second edition, 1989.