1. vydání, Vydavatelství ČVUT, Praha, 2002
(136 stran, 55 obrázků)
2. doplněné vydání, Vydavatelství ČVUT, Praha, 2007
doplněno o kapitolu s řešeními všech příkladů
(150 stran, 58 obrázků)
Skriptum vzniklo na základě přednášek Fuzzy logika a Matematika 6F konaných na FEL ČVUT od r. 1996. Jeho základním cílem je poskytnout kvalifikovanou informaci o vlastnostech fuzzy množin. Nesnaží se nahradit specializované kurzy o fuzzy řízení, fuzzy modelování nebo fuzzy logice, ale poskytnout k nim základ o něco podrobnější než v dosud vydaných českých pramenech.
Po výkladu základních pojmů, s důrazem na reprezentaci fuzzy množin pomocí řezů, jsou studovány fuzzy výrokové a množinové operace, doplněné o kapitolu o agregačních operátorech. Dále jsou uvedeny specifické konstrukce s fuzzy množinami, vlastnosti fuzzy relací a operace s fuzzy čísly. Jedna kapitola je věnována základním pojmům a myšlenkám fuzzy výrokové logiky. V závěru jsou nastíněny základní principy fuzzy řízení a možných aplikací fuzzy množin. Je kladen důraz na matematicky korektní výklad doplněný o příklady (řešené i neřešené) a stručné historické poznámky.
Kniha je určena studentům magisterského i doktorandského studia, ale měla by být pomůckou i pro širší okruh uživatelů fuzzy metod i zájemců o tuto problematiku. Vyžaduje znalost základů logiky a matematiky v rozsahu zhruba prvního ročníku technické vysoké školy.
| 1. Základní pojmy | 6 | |
| 1.1. | Některé problémy klasické teorie množin a motivace zavedení fuzzy množin | 6 |
| 1.2. | Druhy neurčitosti | 7 |
| 1.3. | Základní pojmy z teorie množin | 9 |
| 1.4. | Charakteristická funkce | 10 |
| 1.5. | Základní pojmy teorie fuzzy množin | 11 |
| 1.6. | Popis fuzzy množin pomocí řezů | 13 |
| 1.7. | Fuzzy inkluze, řezová konzistence | 19 |
| 1.8. | Historické a bibliografické poznámky | 20 |
| 1.9. | Cvičení | 21 |
| 2. Operace s fuzzy množinami | 23 | |
| 2.1. | Ostré množiny | 23 |
| 2.2. | Analogie pro operace s fuzzy množinami | 23 |
| 2.3. | Fuzzy negace | 24 |
| 2.4. | Fuzzy konjunkce (trojúhelníkové normy) | 30 |
| 2.5. | Fuzzy disjunkce (trojúhelníkové konormy) | 44 |
| 2.6. | Historické a bibliografické poznámky | 51 |
| 2.7. | Cvičení | 52 |
| 3. Další vlastnosti logických spojek | 55 | |
| 3.1. | Fuzzy výrokové algebry | 55 |
| 3.2. | Fuzzy implikace | 58 |
| 3.3. | Fuzzy biimplikace (ekvivalence) | 63 |
| 3.4. | Historické a bibliografické poznámky | 63 |
| 3.5. | Cvičení | 64 |
| 4. Fuzzy relace | 65 | |
| 4.1. | Binární relace v~klasické teorii množin | 65 |
| 4.2. | Fuzzifikace binárních relací | 66 |
| 4.3. | Řezová konzistence fuzzy relací | 75 |
| 4.4. | Relace blízkosti jako příklad fuzzy ekvivalence | 77 |
| 4.5. | Projekce a cylindrické rozšíření | 79 |
| 4.6. | Historické a bibliografické poznámky | 83 |
| 4.7. | Cvičení | 83 |
| 5. Princip rozšíření a fuzzy aritmetika | 86 | |
| 5.1. | Rozšíření binárních relací na ostré množiny | 86 |
| 5.2. | Princip rozšíření binárních relací na fuzzy množiny | 88 |
| 5.3. | Konvexní fuzzy množiny | 93 |
| 5.4. | Fuzzy čísla a fuzzy intervaly | 94 |
| 5.5. | Binární operace s fuzzy čísly | 95 |
| 5.6. | Historické a bibliografické poznámky | 102 |
| 5.7. | Cvičení | 103 |
| 6. Fuzzy logika | 104 | |
| 6.1. | Syntaxe základní logiky | 104 |
| 6.2. | Sémantika základní logiky | 108 |
| 6.3. | Věta o úplnosti | 111 |
| 6.4. | Další typy fuzzy logik | 112 |
| 6.5. | Racionální Pavelkova logika | 116 |
| 6.6. | Historické a bibliografické poznámky | 118 |
| 6.7. | Cvičení | 118 |
| 7. Aplikace fuzzy logiky | 120 | |
| 7.1. | Základní principy fuzzy řízení | 120 |
| 7.2. | Další témata | 124 |
| 8. Řešení příkladů | 126 | |
| 9. Literatura | 142 | |
| 8.1. | Základní | 142 |
| 8.2. | Další odkazy | 143 |
| 9. Rejstřík | 147 | |
1st edition, Czech Technical University, Prague, 2002
(136 pp., 55 figures)
2nd revised edition, Czech Technical University, Prague, 2007
(150 pp., 58 figures)
This textbook should give mathematically correct and concise information about fuzzy sets and their properties. It is not intended as a substitute of specialized courses in fuzzy control, fuzzy modelling, or fuzzy logic, but it builds up a foundation for their study.
The basic notions are presented with emphasis on the representation of fuzzy sets by cuts. Fuzzy propositional and set operations are studied in detail (including a brief summary of aggregation operators). Then specific constructions with fuzzy sets are introduced, as well as properties of fuzzy relations and operations with fuzzy numbers. One chapter is devoted to basic notions and ideas of fuzzy propositional logic. The principles of fuzzy control are summarized and areas of applications are outlined. Emphasis is put on a mathematically correct presentation with exercises (both solved and unsolved), with brief historical remarks.
The primary purpose of the textbook is to facilitate education in fuzzy sets in undergraduate and postgraduate courses. It is also intended as a handbook for a wide range of users of fuzzy techniques and readers concerned in this modern field. The only prerequisities are basic courses of mathematical logic and calculus at a level of the first course of a technical university.