Adaptivní systémy s referenčním modelem

Adaptační pravidla mají za úkol nastavit parametry regulátoru ${\Theta }_R$ tak, aby rozdíl $e$ mezi výstupem $y$ regulovaného systému $S$ a výstupem $y_m$ modelu požadovaného chování $S_m$ byl nulový. Obecný tvar lineárního regulátoru pro systém s jedním vstupem i výstupem je lineární regulátor se dvěma stupni volnosti, který lze charakterizovat parametry přenosových funkcí $R$, $S$ a $T$. Schéma je uvedeno na obrázku 1. Přenos celé soustavy $F_{w/y}=\frac{B\cdot T}{A\cdot R+B\cdot S}$ by se měl po adaptaci blížit přenosu modelu $\frac{B_m}{A_m}$ .

Dostatečně stabilní nuly obsažené v $B^{+}$ se nemusí nacházet v modelu ($B_m$), protože je lze krátit. Nestabilní nuly ($B^{-}$) krátit nelze, protože po jejich vykrácení by se v systému objevily neřiditelné nestabilní stavy. Proto model požadovaného chování musí nestabilní část $B^{-}$ obsahovat v $B_m$. Pak pro parametry $R$, $S$ platí rovnice $$\begin{array}{cc}A\cdot R+B\cdot S=B^{+}\cdot A_m\cdot Q& (1)\end{array}$$ve které $Q$ představuje libovolný stabilní polynom dostatečného stupně odpovídající dynamice observeru. Minimální stupeň vychází z nerovností  $\mathrm{deg}T\le \mathrm{deg}R$  a  $\mathrm{deg}S\le \mathrm{deg}R$ . Protože $B^{+}$ dělitelí $B$ musí ke splnění rovnosti dělit i $R$, pak $R=B^{+}\cdot R_1$ . Předchozí rovnici lze tedy řešit jako diofantovskou rovnici: $$\begin{array}{cc}A\cdot R_1+B^{-}\cdot S=A_m\cdot Q& (2)\end{array}$$jejím vyřešením jsou získány hodnoty $R_1$ a $S$ a po dosazení bude platit i rovnice (1). Polynom $T$ lze vypočítat z rovnice $$\begin{array}{cc}T=\frac{B_m\cdot Q}{B^{-}}=B_m\text{'}\cdot Q& (3)\end{array}$$kde $B_m\text{'}$ získáme po krácení polynomu $B_m$ polynomem $B^{-}$.

Na obrázku 2 je opět zobrazen regulátor a regulovaný systém doplněný modelem požadovaného chování. Systém lze popsat následujícími rovnicemi :

Je nutné upozornit, že indexy v polynomech $R$, $S$ a $T$ jsou v tomto případě uvažovány od nejvyšší mocniny $p$ směrem k mocnině nejnižší ( obdobně jako v modelech v Matlabu, kde je ovšem indexace prováděna od $1$ do $n+1$ ). Po zkonvergování parametrů do ideálního stavu bude platit $A\cdot R+B\cdot S\approx A_m\cdot B^{+}\cdot Q$ a tuto aproximaci lze většinou použít i v počátku adaptace. Adaptační pravidla stále obsahují $B^{-}$. Polynom $B^{+}$v předchozí aproximaci lze však zkrátit podle (2). Pro systém obsahující pouze stabilní nuly lze psát $B=B^{+}\cdot b_0$. Po zkrácení zbývá pouze $b_0$. Konstantu $b_0$ lze zahrnout do konstanty rychlosti adaptace $k$, pouze je nutné respektovat její znaménko. Pak lze předchozí rovnice dosadit do rovnic pro adaptaci parametrů ${\Theta }_R$ regulátoru ( například do (4) ) :

Na obrázku 4 je model spojitého adaptivního systému obecného řádu, který využívá výše odvozené gradientní metody. Obrázek 3 zobrazuje filtr pro výpočet vektor členů citlivostních funkcí $\left(\frac{p^{k-i=0\dots k}}{A_m\cdot Q}\right)$. Shodný tvar filtru je použit pro všechny tři nastavované parametry, ovšem pro parametr $r_0$ je výsledek násoben nulou a integrátor je přednastaven na hodnotu $1$. Podobný model lze sestrojit i pro diskrétní systém.

Úkolem je pro systém $S$ nalézt takový regulátor a adaptační pravidla aby se systém choval shodně jako zadaný modelový systém $S_m$. Úloha nebude řešena zcela obecně. Jak je upozorněno v [HAV_ASY_PRED] pro sestrojení takovéhoto adaptivního regulátoru vyššího řádu je nutné, aby byly všechny stavy regulovaného systému $S$ měřitelné. Proto jako výstup systému i modelu budou brány stavy $\stackrel{⟶}{x}$ a $\stackrel{⟶}{x_m}$. Adaptační pravidla mají za úkol ladit parametry regulátoru ${\Theta }_R$ tak, aby se limitně blížily optimálnímu nastavení regulátoru ${\Theta }_R^{★}$ a rozdíl výstupů modelu a systému $\stackrel{⟶}{e}=\stackrel{⟶}{x}-\stackrel{⟶}{x_m}$ se blížil $\stackrel{⟶}{0}$. Je tedy nutné hledat hyperstabilitu systému se stavem $\left(\stackrel{⟶}{e},{\Theta }_R-{\Theta }_R^{★}\right)$ .

Dále jak bylo ukázáno v [S_TDS] lze dynamiku ( vlastní čísla $\lambda$ matice systému $A$ ) libovolného systému téměř libovolně změnit zavedením stavové zpětné vazby $\stackrel{⟶}{h}$ do vstupu systému $S$. Pro další výpočty je vhodné předpokládat model požadovaného chování $S_m$ s maticemi $A_m$ a $B_m$ ve Frobeniově kanonickém tvaru. Tento předpoklad neomezuje obecnost řešení, protože jak bylo ukázano v [S_TDS] lze stavy a matice každého systému do tohoto tvaru převést. Při jiném než Frobeniově tvaru požadovaného chování je tedy nutné stav modelu $\stackrel{⟶}{x_m}$ i měřený stav regulovaného systému $\stackrel{⟶}{x}$ násobit transformační maticí $Q^{-1}$, kterou lze vypočítat $Q=R_m\cdot R_m{\text{'}}^{-1}$. $R_m$ a $R_m\text{'}$ jsou matice dosažitelnosti původního a transformovaného modelu systému $R_m=\stackrel{⟶}{b_m},A_m\cdot \stackrel{⟶}{b_m},\mathrm{...},A_m^{n-1}\cdot \stackrel{⟶}{b_m}$ a $R_m\text{'}=\stackrel{⟶}{b_m\text{'}},A_m\text{'}\cdot \stackrel{⟶}{b_m\text{'}},\mathrm{...},A_m{\text{'}}^{n-1}\cdot \stackrel{⟶}{b_m\text{'}}$.

Na obrázku 5 je zobrazen model s výše uvedenými adaptačními pravidly. Tento model vykazuje velmi uspokojivé výsledky pro první a druhý řád. Doba adaptace pro třetí řád systému je již poměrně dlouhá.