Gaussův integrál - Řešení
Vyřešíme nejprve druhou mocninu integrálu
Provedeme substituci do polárních souřadnic
Determinant Jakobiánu transformace je
Čili
.
Po provedení substituce dostaneme
Provedeme ještě jednou substituci
počítáme tedy integrál
![\begin{displaymath}
I = \frac{1}{K} \sqrt{\frac{2\pi}{a}}.
\end{displaymath}](img9.gif) |
(1) |
Potřebujeme vyjádřit
-rozměrný integrál jako součin
jednorozměrných integrálů. Substituujeme
pomocí lineární
kombinace vlastních vekorů matice
.
![\begin{displaymath}
\vc{x} = \sum_{k=1}^{N} a_k \vc{u}_k.
\end{displaymath}](img15.gif) |
(2) |
Jelikož
je symetrická reálná pak i
jsou reálná a
existuje ortonormální báze vlastních vektorů
,
podrobnosti
viz [1]. Existuje reálná ortonormální matice
taková, že platí
![\begin{displaymath}
U^T A U = {\rm diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_N).
\end{displaymath}](img19.gif) |
(3) |
Za předpokladu ortonormality vlastních vektorů,
,
platí pro determinant jakobiánu transformace
(2)
.
Připomeňme, že platí
,
kde
jsou příslušná vlastní čísla
matice
.
Pak platí
-rozměrný integrál přepíšeme na součin
Tento jednorozmzěrný integrál jsme již vyřešili v předchozí
kapitole. Doplňme ještě, že z rovnice (3) vyplývá,
že součin vlastních čísel je roven determinantu matice
.
S použitím
výsledku (1) platí
Z požadavku
tedy
- 1
-
Gene H. Golub and Charles F. van Loan.
Matrix Computation.
The Johns Hopkins University Press, second edition, 1989.
1999-04-26