Příklady na pravděpodobnost - Řešení

Contents

• Contents
• Základní vztahy
  • Podmíněná pravděpodobnost
  • Úplná pravděpodobnost
  • Bayesův vzorec
  • Nezávislé jevy
• Příklady
  • Tahání koulí
  • Zkouška
  • Milenci

Základní vztahy

Podmíněná pravděpodobnost

Podmíněná pravděpodobnost jevu $A$ z předpokladu, že nastane jev $B$

$$P(A\vert B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$ (1)

Úkol

Dokažte, že podmíněná pravděpodobnost splňuje tři základní axiomy pravděpodobnosti.

Řešení

1.

$P(A\vert B)\ge 0$. To je zřejmé ihned z definice.

2.

$P(S) = 1$.

$$P(S\vert B) = \frac{P(B\cap S)}{P(B)} = \frac{P(B)}{P(B)}.$$

3.

Jestliže $A$ a $B$ jsou vzájemně se vylučující jevy. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.

$$P(A\cup B\vert M) = P(A\vert M)+P(B\vert M).$$

Důkaz: Jelikož $A\cap B=0$, pak také $(A\cap M) \cap (B\cap M)=0$. A jelikož $(A\cup B)\cap M=(A \cap M) \cup (B \cap M)$ pak tedy

$$P(A\cup B\vert M) = \frac{P[(A\cup B)\cap M]}{P(M)} = \frac{P(A\cap M)}{P(M)} + \frac{P(B\cap M)}{P(M)}$$

Úplná pravděpodobnost

Předpokládejme, že $[A_1,\dots,A_n]$ jsou vzájemně se vylučující jevy z jevového pole $S$. Pravděpodobnost $P(B)$ jevu $B$ je

$$P(B) = P(B\vert A_1)P(A_1) + \cdots + P(B\vert A_n)P(A_n).$$ (2)

Úkol

Dokažte platnost vztahu pro úplnou pravděpodobnost.

Řešení

$$B = B \cap S = B \cap (A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) = (B \cap A_1) \cup \dots \cup (B \cap A_n).$$

Jelikož $A_i \cap A_j = 0$ pro $i\neq j$ pak také samozřejmě $(B \cap A_i) \cap (B \cap A_j)=0$. Čili s použitím třetího axiomu pravděpodobnosti platí

$$P(B) = P(B \cap A_1) + \dots + P(B \cap A_n).$$

Rovnice (2) plyne z faktu $P(B \cap A_i) = P(B\vert A_i)P(A_i)$.

Bayesův vzorec

$$P(A_i\vert B) = \frac{P(B\vert A_i) P(A_i)}{P(B)}.$$ (3)

Úkol

Dokažte Bayesův vzorec.

Řešení

Z rovnice (1) plyne

$$P(A_i\vert B) = \frac{P(A_i \cap B)}{P(B)} \ \ \ \ P(B\vert A_i) = \frac{P(A_i \cap B)}{P(A_i)}.$$

tudíž

$$P(A_i\vert B)P(B) = P(B\vert A_i)P(A_i).$$

Odtud platnost rovnice (3).

Nezávislé jevy

Jevy $A$ a $B$ jsou statisticky nezávislé, jestliže platí:

$$P(A\cap B) = P(A)P(B).$$ (4)

Příklady

Tahání koulí

Zadání

V krabici je 5 koulí. 3 jsou bílé a 2 černé. Vytáhnu dvě koule za sebou. Jaká je pravděpodobnost, že první vytáhnu bílou a druhou černou?

Řešení

Pravděpodobnost, že první vytahnu bílou je $P(B_1)=3/5$. Po vytažení první zbydou 2 a 2 koule různé barvy. Čili podmíněná pravděpodobnost $P(C_2\vert B_1) = 2/4$. Z rovnice (1) odvodíme

$$P(B_1\cap C_2) = P(C_2\vert B_1) P(B_1) = \frac{2}{4} \frac{3}{5} =\frac{3}{10}.$$

Zkouška

Zadání

Student jde na zkoušku, ale neví, který ze tří možných předmětů (RPZ,PV,PG) se zkouší. Ví, že neumí 40% otázek z RPZ, 15% z PV a 20% z PG.

1.

Jaká je pravděpodobnost, že bude vyhozen?

2.

Jaká je pravděpodobnost, že bude vyhozen z RPZ?

3.

Bude-li vyhozen, jaká je pravděpodnost toho, že to bude z RPZ?

Řešení

Pravděpodnosti zkoušky z jednotlivých předmětů jsou si rovny.

$$P(RPZ)=P(PG)=P(PV) = \frac{1}{3}.$$

Podmíněné pravděpodobnosti vyhození jsou

$$P(v\vert RPZ)=\frac{1}{4}, P(v\vert PV)=\frac{3}{20}, P(v\vert PG)=\frac{1}{5}.$$

1.

Z rovnice (2) vyplývá pravděpodobnost vyhození

$$P(v) = P(v\vert RPZ)P(RPZ) + P(v\vert PV)P(PV) + P(v\vert PG)P(PG) = \frac{1}{4}$$

2.

Pravděpodobnost, že bude vyhozen z RPZ.

$$P(v \cap RPZ) = P(v\vert RPZ) P(RPZ) = \frac{2}{15}.$$

3.

Z Bayesova vzorce (3) plyne

$$P(RPZ\vert v) = \frac{P(v\vert RPZ)P(RPZ)}{P(v)} = \frac{\frac{2}{5}\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}} = \frac{8}{15}.$$

Milenci

Zadání

Dva milenci $A$ a $B$ se domluví, že každý přijde mezi 17. a 18. hodinou na smluvené místo. Každý počká 15 minut, nedočká-li se druhého, odejde.

1.

Jaká je pravděpodobnost, že milenec $A$ přijde před $B$.

2.

Jaká je pravděpodobnost, že se na smluveném místě setkají?

3.

Předpokládejme, že se sejdou. Jaká je pravděpodobnost, že $A$ přijde před $B$.

Řešení

Oprostíme se od hodinových údajů a specifikujeme, jako dobu příchodu $0\leq t \leq 60$ minut. Nejprve specifikujme model. Výstup jednoho experimentu (schůzky) je dvojice příchodů $t_A,t_B$. Jevový prostor je tedy čtverec o hraně 60 minut. Definujeme jev $A$ jako příchod milence $A$ v časovém rozmezí $t_1 \leq t_A \leq t_2$.

$$P(A) =\frac{t_2 - t_1}{60}.$$

obdobně

$$P(B) = \frac{t_4 - t_3}{60}.$$

Za předpokladu nezávislosti příchodů platí

$$P(A\cap B) = P(A)P(B) = \frac{(t_2-t_1)(t_4-t_3)}{60 \times 60}$$

Tudíž pravděpodobnost libovolného jevu $D$ může být vyjádřena jako

$$P(D) = \frac{plocha D}{60^2}.$$

1.

Jev $S = {t_A \leq t_B}$ Plocha příznivá jevu $S$ je trojúhelník $S$, viz obrázek 1. Tudíž

$$P(S) = \frac{1}{2}$$

2.

Jev $D = {-15 \leq t_A-t_B \leq 15}$. Plocha mnohoúhelníku $D$ na obrázku 1 odpovídá jevu $D$. Tudíž

$$P(D) = \frac{60^2-45^2}{60^2} = \frac{7}{16}.$$

3.

$$P(S\vert D) = \frac{P(S\cap D)}{P(D)} = \frac{1}{2}.$$

  

Figure 1: Specifikace modelu.