Příklady na pravděpodobnost - Zadání

Contents

• Contents
• Základní vztahy
  • Podmíněná pravděpodobnost
  • Úplná pravděpodobnost
  • Bayesův vzorec
  • Nezávislé jevy
• Příklady
  • Tahání koulí
  • Zkouška
  • Milenci

Základní vztahy

Podmíněná pravděpodobnost

Podmíněná pravděpodobnost jevu $A$ z předpokladu, že nastane jev $B$

$$P(A\vert B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$ (1)

Tento vztah je definicí podmíněné pravděpodobnosti.

Úkol

Dokažte, že podmíněná pravděpodobnost splňuje tři základní axiomy pravděpodobnosti.

Úplná pravděpodobnost

Předpokládejme, že $[A_1,\dots,A_n]$ jsou vzájemně se vylučující jevy z jevového pole $S$. Pravděpodobnost $P(B)$ jevu $B$ je

$$P(B) = P(B\vert A_1)P(A_1) + \cdots + P(B\vert A_n)P(A_n).$$ (2)

Úkol

Dokažte platnost vztahu pro úplnou pravděpodobnost.

Bayesův vzorec

$$P(A_i\vert B) = \frac{P(B\vert A_i) P(A_i)}{P(B)}.$$ (3)

Úkol

Dokažte Bayesův vzorec. Hint: Použijte definiční vzorec podmíněné pravděpodobnosti.

Nezávislé jevy

Jevy $A$ a $B$ jsou statisticky nezávislé, jestliže platí:

$$P(A\cap B) = P(A)P(B).$$ (4)

Příklady

Tahání koulí

V krabici je 5 koulí. 3 jsou bílé a 2 černé. Vytáhnu dvě koule za sebou. Jaká je pravděpodobnost, že první vytáhnu bílou a druhou černou?

Zkouška

Student jde na zkoušku, ale neví, který ze tří možných předmětů (RPZ,PV,PG) se zkouší. Pravděpodobnost zkoušky z jednotlivých předmětů je stejná. Ví, že neumí 40% otázek z RPZ, 15% z PV a 20% z PG.

1.

Jaká je pravděpodobnost, že bude vyhozen?

2.

Jaká je pravděpodobnost, že bude vyhozen z RPZ?

3.

Bude-li vyhozen, jaká je pravděpodnost toho, že to bude z RPZ?

Milenci

Dva milenci $A$ a $B$ se domluví, že každý přijde mezi 17. a 18. hodinou na smluvené místo. Každý počká 15 minut, nedočká-li se druhého, odejde.

1.

Jaká je pravděpodobnost, že milenec $A$ přijde před $B$.

2.

Jaká je pravděpodobnost, že se na smluveném místě setkají?

3.

Předpokládejme, že se sejdou. Jaká je pravděpodobnost, že $A$ přijde před $B$.