Odvození transformační funkce pro ekvalizaci histogramu

Tomáš Svoboda

Výklad je převzat a upraven z knihy [1]. Nechť $r$ reprezentuje jasové hodnoty obrazu, který chceme vylpšit. Buď $r$ v intervalu $<0,1>$. Zajímáme se o transformaci ve tvaru

$$s = T(r)\:,$$ (1)

která přiřadí nějakou jasovou hodnotu $s$ každé jasové úrovni $r$ v původním obraze.

Předpokládané vlastnosti transformace:

1.

$T(r)$ monotonně rostoucí v intervalu $<0,1>$.

2.

$0 \leq T(r) \leq 1$ pro $0 \leq r \leq 1$.

Pro jednodušší odvození předpokládejme spojité funkce. Histogram jasových hodnot se ve spojitém případě stane funkcí hustoty náhodného rozdělení jasových hodnot. Pak ze základní teorie pravděpodobnosti platí

$$p_s(s) = {\left[p_r(r) \frac{dr}{ds}\right]}_{r=T^{-1}(s)}.$$ (2)

Uvažujme transformační funkci

$$s = T(r) = \int_0^r p_r(w) dw \ \ \ 0 \leq r \leq 1\:,$$ (3)

kde $w$ je pomocná integrační proměnná. Integrál vpravo není nic jiného než kumulativní distribuční funkce, jenž splňuje podmínky 1 a 2 na transformační funkci kladené. Derivujme rovnici (3) podle $r$

$$\frac{ds}{dr} = p_r(r)\:.$$ (4)

Dosaďme $dr/ds$ do (2) pak

$$\begin{array}{rcl} p_s(s) & = & {\left[p_r(r) \frac{1}{p_r(r)... ...]}_{r=T^{-1}(s)} \\ & = & 1 \ \ \ 0\leq s \leq 1 \end{array}$$ (5)

což je rovnoměrné rozdělení

Bibliography

1

Rafael C. Gonzalez and Richard E. Woods.
Digital Image Processing.
Addison-Wesley, 1992.