Odvození transformační funkce pro ekvalizaci histogramu
Tomáš Svoboda
Výklad je převzat a upraven z knihy [1].
Nechť
reprezentuje jasové hodnoty obrazu, který chceme vylpšit.
Buď
v intervalu .
Zajímáme se o transformaci ve tvaru
|
(1) |
která přiřadí nějakou jasovou hodnotu
každé jasové úrovni
v
původním obraze.
Předpokládané vlastnosti transformace:
- 1.
-
monotonně rostoucí v intervalu .
- 2.
-
pro
.
Pro jednodušší odvození předpokládejme spojité funkce. Histogram
jasových hodnot se ve spojitém případě stane funkcí hustoty náhodného
rozdělení jasových hodnot. Pak ze základní teorie pravděpodobnosti platí
|
(2) |
Uvažujme transformační funkci
|
(3) |
kde
je pomocná integrační proměnná. Integrál vpravo není nic
jiného než kumulativní distribuční funkce, jenž splňuje podmínky 1 a 2
na transformační funkci kladené. Derivujme rovnici (3)
podle
|
(4) |
Dosaďme
do (2) pak
|
(5) |
což je rovnoměrné rozdělení
- 1
-
Rafael C. Gonzalez and Richard E. Woods.
Digital Image Processing.
Addison-Wesley, 1992.
1999-12-03