Obsah přednášek

1. Vzdálenosti ve vícerozměrném prostoru (metrika, norma), geometrické pojmy: okolí, hranice, uzavřená a otevřená množina, konvergence. Funkce více proměnných. Spojitost funkcí více proměnných.
2. Značení derivací (Newtonovo, Leibnizovo, operátorové). Parciální derivace funkcí více proměnných, gradient.
3. Směrové derivace funkcí více proměnných. Diferenciál funkce více proměnných, lineární aproximace. Podmínky diferencovatelnosti.
4. Aplikace pariciálních derivací a diferenciálů pro aproximaci funkcí. Derivace vyšších řádů. Smíšené derivace.
5. Využítí smíšených (směrových) derivací v rozpoznávání textury. Oblouk, křivka. Derivace podél křivky. Linearita operátorů, role principu superpozice. Dvojný integrál.
6. Substituce v dvojném integrálu. Trojný integrál, substituce v trojném integrálu.
7. Křivkový integrál druhého druhu, role integrační cesty. Potenciál.
8. Greenova věta. Aplikace křivkových a násobných integrálů.
9. Křivkový integrál prvního druhu. Diferenciální rovnice, typy úloh, základní vlastnosti, řešitelnost. Lineární diferenciální rovnice homogenní s jednoduchými charakteristickými čísly.
10. Lineární diferenciální rovnice homogenní s násobnými charakteristickými čísly. Lineární diferenciální rovnice nehomogenní.
11. Lineární diferenciální rovnice nehomogenní. Fourierovy řady. Aproximace spojitých periodických funkcí, význam koeficientů. Riemannova věta.
12. Parsevalova rovnost. Řešení vlnové rovnice pomocí Fourierovy řady. Komplexní, sinová a kosinová Fourierova řada.
    Zavedení Fourierovy transformace.
13. Fourierova transformace, její základní vlastnosti a použití.

Obsah cvičení

1. Seznámení se systémem Maple:
   Máte si osvojit následující dovednosti:
   • Orientovat se v maplovském dokumentu a umět ho upravovat
   • Zadávat výrazy a funkce a umět je rozlišovat
   • Derivace funkcí jedné proměnné
   • Integrály funkcí jedné proměnné
   • Limity funkcí jedné proměnné
   • Kreslit grafy funkcí jedné a dvou proměnných
   Programy: úvodní poučení, některé výpočetní prostředky
2. Samostatná práce se systémem Maple
   Test z používání systému Maple (ALFA)
3. Norma, hromadné body, limita, spojitost
   Máte si osvojit následující dovednosti:
   • Jak vypadá a jak nevypadá norma na Rⁿ
   • Co je limita a co hromadný bod posloupnosti bodů, jak je najít; příklady na hromadné body
   • Poznat spojitost a najít limitu funkce více proměnných
   Samostatná práce: spojitost (zápočtová úloha A)
4. Parciální a směrové derivace a jejich použití pro přibližné výpočty
   Máte si osvojit následující dovednosti:
   • Aproximace funkce diferenciálem je dobrá v blízkém okolí bodu, horší ve vzdálenějších bodech a zcela nepoužitelná u funkcí, které nejsou diferencovatelné
   • Převod mezi parciálními a směrovými derivacemi
   Samostatná práce: přibližné výpočty s užitím derivací (zápočtová úloha B)
5. Převod mezi parciálními a směrovými derivacemi
   Samostatná práce na zápočtových úlohách
6. Násobné integrály
   Programy: dvojné a trojné integrály
   Návod ke cvičení: dvojné a trojné integrály (zápočtová úloha C)
   Máte si osvojit následující dovednosti:
   • Parametrizovat jednoduché rovinné útvary
   • Vypočítat dvojný integrál
   • Parametrizovat jednoduché prostorové útvary
   • Vypočítat trojný integrál
   • Využít záměnu pořadí integrace a převod do jiných souřadnic
7. Násobné a křivkové integrály
   Programy (navíc k předchozím): křivkové integrály druhého druhu
   Návod ke cvičení (navíc k předchozím): křivkové integrály druhého druhu (zápočtová úloha D)
   Máte si osvojit následující dovednosti:
   • Parametrizovat křivku
   • Vypočítat křivkový integrál 2. druhu, ověřit (ne-)závislost na parametrizaci
   • Použít Greenovu větu
8. Násobné a křivkové integrály, potenciál
   Programy (navíc k předchozím):křivkové integrály prvního druhu
   Návody ke cvičení: křivkové integrály prvního druhu (zápočtová úloha E)
   Máte si osvojit následující dovednosti:
   • Vypočítat potenciál a z jedné složky dvojrozměrného potenciálního pole druhou
   • Vypočítat křivkový integrál 1. druhu, ověřit (ne-)závislost na parametrizaci
9. Řešení diferenciálních rovnic 1
   Programy: řesení (soustavy) diferenciálních rovnic a jeho zobrazení, ukázka elementární manipulace s diferenciální rovnicí
   Návody ke cvičení: řešení diferenciálních rovnic (zápočtová úloha F, část 1); Máte zdokumentovat řešení aspoň 3 úloh.
   Máte si osvojit následující dovednosti:
   • Posoudit řešitelnost
   • Najít obecné i partikulární řešení
   • Pochopit tvar a význam složek řešení lineární diferenciální rovnice
10. Řešení diferenciálních rovnic 2
    Návody ke cvičení (navíc k předchozímu; odevzdávají se obě práce najednou v jednom souboru typu MW nebo ZIP): stabilizace bicyklu (zápočtová úloha F, část 2)
    Máte si osvojit následující dovednosti:
    • U nehomogenní lineární diferenciální rovnice rozpoznat podíl sdružené homogenní lineární diferenciální rovnice na řešení
    • Stabilizovat bicykl vhodným typem regulátoru a dle návodu vyzkoušet vlastnosti řešení.
    Samostatná práce na zápočtových úlohách
11. Fourierovy řady
    Programy: Fourierovy řady (zápočtová úloha G)
    Máte si osvojit následující dovednosti:
    • Zvolte si konečný impuls, který se periodicky opakuje (musí být kratší než nejmenší použitá perioda). Aproximujte jej konečnou Fourierovou řadou. Sledujte a popište, jak se mění koeficienty Fourierovy řady, amplitudová a frekvenční charakteristika, když
      • měníme amplitudu impulsu,
      • přičteme jiný impuls,
      • měníme šířku impulsu,
      • impuls posuneme (v čase),
      • impuls derivujeme nebo integrujeme (dle možnosti).
    • Sledujte aproximaci pohybu struny, jejíž počáteční polohu zvolíte tak, aby byla na koncích struny nulová a měla spojitou 2. derivaci. (Prémie za nejzajímavější animaci.)
12. Fourierova transformace
    Programy: Fourierova transformace
    Máte si vyzkoušet, jak se změní obraz
    • lineárními operacemi v prostoru vzorů,
    • změnou měřítka a posunutím nezávisle proměnné v časové oblasti,
    • derivací/integrací vzoru.
    Dále si máte vyzkoušet:
    • jak vypadá obraz sudé/liché funkce,
    • další vlastnosti probírané v přednášce,
    • předchozí vlastnosti i pro operace s obrazy a inverzní Fourierovu transformaci.
    V tomto případě se výjimečně nevyžaduje odevzdání úlohy, máte si jen sami procvičit téma.
13. Samostatná práce na zápočtových úlohách, zápočet.

Poznámky k technické podpoře

Místo pro upload prací
Pokud by se s novým programem vyskytly problémy, předposlední verze je dostupná na stejné adrese;
místo ???.* má jméno ???_old.*, např. starší verze int23_cv.mw je int23_cv_old.mw

Dotazy a připomínky adresujte: http://cmp.felk.cvut.cz/~navara